Funciones lineales

La máquina por fin recibe un nombre

La máquina de facturas de móvil te acompaña desde F8: $$20$ más $$3$ por gigabyte. A1 la hizo funcionar al revés; A4 dibujó todos sus meses de una vez como $y = 3x + 20$. Ahora pon un segundo plan al lado — $$10$ de entrada pero $$5$ por gigabyte — y mira cómo se traba la vieja notación: ”$y = 3x + 20$, y también $y = 5x + 10$, y el primer $y$ en $4$ es menor que el segundo $y$ en… ” Ni siquiera puedes preguntar qué plan es más barato sin señalar torpemente. La solución es darle un nombre a cada máquina:

$B(g) = 3g + 20 \qquad\qquad L(g) = 5g + 10$

Eso es toda la notación de función: un nombre para una regla, con una ranura para la entrada. Lee $B(g) = 3g + 20$ como ”$B$ de $g$”: la máquina se llama $B$, dejas caer un número de gigabytes en la ranura y sale una factura. $B(4)$ significa “la salida de $B$ cuando la entrada es $4$” — un solo número, calculado sustituyendo: $B(4) = 3(4) + 20 = 32$. Ahora la comparación que era impreguntable es una línea limpia: ¿es $B(4) < L(4)$? ($32$ contra $30$ — el plan más caro por giga gana en cuatro gigas.)

Dos preguntas que le puedes hacer a una máquina

Todo en esta unidad es uno de dos movimientos. Evaluar le da una entrada a la máquina:

Resolver le da a la máquina una salida objetivo y pregunta qué entrada la produjo. ¿Qué mes cuesta exactamente $$50$? Esa es la ecuación $B(g) = 50$, es decir $3g + 20 = 50$ — y A1 ya te enseñó el orden de deshacer: primero resta el $20$ ($3g = 30$), luego divide entre $3$ ($g = 10$). Hacia delante, la máquina multiplica y luego suma; hacia atrás, restas y luego divides. La misma máquina, dos direcciones.

Predice antes de mirar: con $f(x) = 2x + 1$, ¿qué sale para la entrada $3$? Luego cambia a resolver y dale el objetivo $9$ — mira cómo las cajas de deshacer corren en orden inverso. Ahora pon $m = 0$, deja $b = 4$ y pide el objetivo $9$: ¿por qué una máquina plana no tiene respuesta para eso? (¿Y qué único objetivo tiene todas las respuestas?)

Los paréntesis son una ranura, no un producto

Aquí está el único truco malo de la notación. En todo el resto del álgebra, $a(b)$ significa multiplicar — así que tu ojo quiere que $f(4)$ signifique $f \times 4$. Si eso fuera verdad, $f(0)$ sería $0$ para toda función del mundo; pero $B(0) = 20$ — un mes vacío igual cuesta la cuota base. Y duplicar la entrada duplicaría la salida; pero $B(8) = 44$, ni cerca de $2 \cdot B(4) = 64$. Los paréntesis después de un nombre de función son una ranura de buzón: $f(4)$ es “lo que $f$ devuelve para $4$”, un solo número, y no hay ningún $f$ flotando libre para multiplicar ni cancelar con nada.

Cada dato sobre $f$ es un punto

A4 llamó a una ecuación de dos variables una prueba de pertenencia para puntos. La notación de función es la misma prueba, escrita más apretada: decir $f(4) = 32$ y decir “el gráfico de $y = f(x)$ pasa por $(4, 32)$” son la misma frase. Entrada hacia el lado, salida hacia arriba. Tres casos especiales hacen casi todo el trabajo del SAT: $f(0)$ es el corte con y (el inicio), resolver $f(x) = k$ es hallar dónde la recta alcanza la altura $k$, y resolver $f(x) = 0$ halla el corte con x — donde el gráfico toca el suelo.

Leer una máquina a partir de una tabla

A menudo no te dan ninguna regla — solo valores. Digamos que una tabla muestra $f(0) = 5$, $f(2) = 11$, $f(4) = 17$. ¿Es lineal? Revisa los pasos: cada vez que la entrada sube $2$, la salida sube $6$. Pasos parejos de entrada, pasos parejos de salida — esa es la firma de lo lineal. La tasa, sin embargo, es por una unidad de entrada:

El número que llama la atención es el paso de salida, $6$ — pero las entradas se mueven de a $2$, así que la pendiente es $6 \div 2 = 3$, no $6$. (Las tablas avanzan de a dos y de a cinco justo para tender esta trampa.) Con la tasa y el inicio, la regla se rearma sola: $f(x) = 3x + 5$, y ahora $f(50)$ es una sustitución en vez de una tabla de cincuenta filas.

Qué significan los números en el mundo real

La pregunta de funciones favorita del SAT no tiene nada de álgebra: “En $B(g) = 3g + 20$, ¿qué representa el $20$?” La respuesta es siempre las mismas dos frases, y las unidades lo deciden todo. La pendiente es una tasa, así que su significado necesita la palabra por: $$3$ por gigabyte. La intersección es un valor en cero, la lectura antes de que pase nada: $$20$ cuando $g = 0$, la cuota base. Cámbialas y la frase se vuelve un sinsentido — una factura no puede empezar en "$3$" ni crecer de a "$20$" plano. Cuando la pendiente es negativa — una vela $L(h) = 24 - 2h$ — la tasa se lee como una pérdida (“pierde $2$ cm cada hora”), y un punto más gana significado: el corte con x es el momento en que se acaba, $L(h) = 0$ en $h = 12$.

Elige la vela. Antes de tocar nada, predice: subir la tasa de consumo mueve qué extremo de la recta — ¿y el marcador de “se acaba en…” se desliza a la izquierda o a la derecha? Luego desliza solo el largo inicial: la inclinación nunca cambia, toda la historia solo empieza más arriba (el deslizador de $b$ de A4, ahora con gráfico). La cuota de desbloqueo del scooter hace lo mismo en dólares.

Lo único que hay que recordar

Una función es una máquina con nombre: $f(\text{entrada}) = \text{salida}$, así que cada dato $f(a) = b$ es un punto $(a, b)$ de su gráfico. Evaluar sustituye hacia delante; resolver hace funcionar la máquina al revés. Y en cualquier historia real, la pendiente es la tasa (el número “por”), el corte con y es el valor inicial y el corte con x es cuándo se acaba.

Leer la notación

A partir de una tabla de valores

• Prueba de linealidad: pasos iguales de entrada ⇒ pasos iguales de salida.
• Tasa: $\text{pendiente} = \dfrac{\Delta f}{\Delta x}$ — divide entre el paso de entrada, que suele ser $2$ o $5$, no $1$.
• Inicio: $b = f(0)$ (o trabaja hacia atrás hasta él). Luego $f(x) = (\text{tasa})\,x + b$.

Interpretar un modelo $f(x) = mx + b$