Decimales y valor posicional

El final de fotografía

Dos velocistas cruzan la meta: uno marca $10.4$ segundos, el otro $10.32$. ¿Quién ganó? El ojo quiere decir que $10.32$ es mayor — tiene más cifras, y con los números enteros, más largo siempre significa más grande. Pero aquí $10.32$ es el ganador, con unos buenos $0.08$ segundos de ventaja. Todo lo que hay después de un punto decimal juega con reglas que el ojo aún no termina de aprender, y esta unidad va de volver esas reglas obvias en vez de memorizadas.

Los decimales solo continúan el valor posicional

Empieza por lo que usas desde la infancia: en $437$, cada posición vale $10\times$ la de su derecha — centenas, decenas, unidades. Ahora deja que el patrón siga. Un paso a la derecha de las unidades tiene que valer diez veces menos: décimas ($\frac{1}{10}$). Otro paso: centésimas ($\frac{1}{100}$), luego milésimas. El punto decimal no es un muro — es solo la marca de dónde terminan las “unidades”. Así que $0.37$ significa $3$ décimas $+\ 7$ centésimas, y en el idioma de F3 eso es $\frac{37}{100}$: un decimal es una fracción cuyo denominador es una potencia de diez, con el denominador escondido en la posición de las cifras en vez de escrito debajo.

El widget abre con $42.857$ — antes de mirar, di cuánto vale el $8$, y cuánto vale el $5$. Luego escribe $0.307$: ¿qué está haciendo ese $0$ del medio? (Sostiene abierta la posición de las décimas para que el $3$ y el $7$ no se deslicen a unidades equivocadas.)

Todo decimal es una fracción disfrazada

De decimal a fracción es leer en voz alta: $0.6$ es “seis décimas”, así que $0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. De fracción a decimal usa lo otro que sabes de F3 — una fracción es una división — así que divide arriba entre abajo: $\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375$.

Pero prueba $\frac{1}{3}$ y la división no termina nunca: $0.333\ldots$, escrito $0.\overline{3}$ con una barra sobre el bloque que se repite. ¿Por qué algunas fracciones se detienen y otras giran para siempre? La respuesta son los átomos primos de F2: una posición decimal es una potencia de $10$, y los átomos de $10$ son exactamente $2$ y $5$. Si el denominador de una fracción irreducible se construye solo con $2$ y $5$ — como $8 = 2^3$ — se puede renombrar sobre una potencia de diez y el decimal termina. Cualquier otro átomo en el denominador ($3$, $7$, $11$…) jamás podrá dividir a una potencia de diez, así que a la división no le queda más remedio que repetirse.

Predice antes de convertir: $\frac{7}{20}$ — ¿termina o se repite? ($20 = 2^2 \times 5$: puros átomos correctos.) ¿Y $\frac{7}{12}$? ($12$ trae un $3$ adentro — espera una barra.)

Comparar: por qué “más largo parece mayor” te engaña

Volvamos a los velocistas. El instinto de que $10.32 > 10.4$ viene de toda una vida de números enteros, donde una cifra extra significa otra potencia de diez — $432$ sí le gana a $45$. Pero después del punto, las cifras extra no agregan cantidad, agregan finura: $0.4$ y $0.40$ y $0.400$ son el mismo número cortado en piezas cada vez más delgadas. El arreglo es el truco de la unidad común de F3 vestido de atajo: completa con ceros hasta que las longitudes coincidan — eso es renombrar ambos números en la misma unidad — y compara los numeradores. $10.40$ contra $10.32$: cuarenta centésimas le ganan a treinta y dos.

Sumar y restar: alinea los puntos

El mismo principio, tercera aparición: solo unidades iguales se cuentan juntas. Las décimas se suman con décimas, las centésimas con centésimas — así que los puntos decimales deben quedar en una sola columna. Para $3.4 + 1.25$, completa a $3.40$, alinea los puntos y suma por columnas: $4.65$. (Alinear los bordes derechos — el hábito natural de la suma de enteros — sumaría las $4$ décimas con las $5$ centésimas, un sinsentido de unidades.)

Multiplicar: por qué se cuentan los decimales

Aquí hay un lugar donde el instinto decimal subestima la rareza: pídele a la mayoría $0.2 \times 0.3$ y se les escapa "$0.6$", porque $2 \times 3 = 6$ y los puntos parecen decorativos. Quítales el disfraz a las fracciones y mira lo que pasa de verdad: $\frac{2}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{6}{100} = 0.06$. Las décimas se multiplican en centésimas — los denominadores también se multiplican, y exactamente por eso la regla dice: multiplica como enteros y dale a la respuesta tantos decimales como tenían los dos factores juntos. Y observa que la respuesta es menor que cualquiera de los factores: tomar dos décimas de tres décimas la encoge, el mismo “de” que conociste en F3.

Dividir: convierte el divisor en entero

$1.5 \div 0.5$ pregunta “¿cuántos medios caben en uno y medio?” — tres. La regla mecánica — corre ambos puntos a la derecha hasta que el divisor sea entero ($15 \div 5 = 3$) — es legal por una razón que ya es tuya: correr ambos es multiplicar arriba y abajo por $10$, o sea, fabricar una fracción equivalente. La cantidad no cambia; solo el disfraz.

Ejecuta $0.2 \times 0.3$ y revisa el conteo de decimales en los pasos. Luego $1.5 \div 0.5$ — predice primero: ¿mayor o menor que $1.5$? (Dividir entre un número menor que $1$ agranda la respuesta.)

Redondeo: ¿qué marca está más cerca?

Redondear solo pregunta a qué marca de la regla se pega tu número. La conocida regla de ”$5$ o más sube” es un atajo para “¿está en la mitad o más allá?” — nada más.

Redondea $42.857$ a la décima más cercana sobre la recta — mira a qué marca se abraza. Luego prueba $0.95$ a la décima más cercana y observa cómo la subida se propaga hasta las unidades: $1.0$.

Lo único que debes recordar

Un decimal es una fracción sobre una potencia de diez con el denominador escondido en las posiciones de las cifras — y cada regla decimal es una regla de fracciones con la escritura saltada. Comparar y sumar necesitan unidades iguales (completa ceros, alinea puntos); multiplicar multiplica también los denominadores ocultos (cuenta los decimales); dividir corre ambos números hacia una fracción equivalente más fácil.

Qué significan las cifras

Cada posición es $10\times$ la que está a su derecha. A la izquierda del punto: unidades, decenas, centenas… A la derecha del punto: décimas ($\frac{1}{10}$), centésimas ($\frac{1}{100}$), milésimas ($\frac{1}{1000}$)… Así que $0.37 = 3$ décimas $+\;7$ centésimas $= \frac{37}{100}$.

Las reglas

Un redondeo, paso a paso