Funções lineares

A máquina enfim ganha um nome

A máquina de conta de celular acompanha você desde F8: $$20$ mais $$3$ por gigabyte. A1 rodou-a de trás para frente; A4 desenhou todos os meses de uma vez como $y = 3x + 20$. Agora ponha um segundo plano ao lado — $$10$ de entrada mas $$5$ por gigabyte — e veja a velha notação travar: ”$y = 3x + 20$, e também $y = 5x + 10$, e o primeiro $y$ em $4$ é menor que o segundo $y$ em… ” Você nem consegue perguntar qual plano é mais barato sem apontar desajeitadamente. A solução é dar um nome a cada máquina:

$B(g) = 3g + 20 \qquad\qquad L(g) = 5g + 10$

Isso é tudo o que a notação de função é: um nome para uma regra, com uma fenda para a entrada. Leia $B(g) = 3g + 20$ como ”$B$ de $g$”: a máquina se chama $B$, você deixa cair um número de gigabytes na fenda, e sai uma conta. $B(4)$ significa “a saída de $B$ quando a entrada é $4$” — um único número, calculado substituindo: $B(4) = 3(4) + 20 = 32$. Agora a comparação que era impossível de perguntar é uma linha limpa: será que $B(4) < L(4)$? ($32$ contra $30$ — o plano mais caro por giga vence em quatro gigas.)

Duas perguntas que você pode fazer a uma máquina

Tudo nesta unidade é um de dois movimentos. Avaliar dá uma entrada à máquina:

Resolver dá à máquina uma saída-alvo e pergunta qual entrada a produziu. Qual mês custa exatamente $$50$? Essa é a equação $B(g) = 50$, ou seja $3g + 20 = 50$ — e A1 já te ensinou a ordem de desfazer: primeiro subtraia o $20$ ($3g = 30$), depois divida por $3$ ($g = 10$). Para frente, a máquina multiplica e depois soma; para trás, você subtrai e depois divide. A mesma máquina, duas direções.

Preveja antes de olhar: com $f(x) = 2x + 1$, o que sai para a entrada $3$? Depois mude para resolver e dê a ela o alvo $9$ — veja as caixas de desfazer rodarem na ordem inversa. Agora ponha $m = 0$, deixe $b = 4$ e peça o alvo $9$: por que uma máquina plana não tem resposta para isso? (E qual único alvo tem todas as respostas?)

Os parênteses são uma fenda, não um produto

Aqui está o único truque cruel da notação. Em todo o resto da álgebra, $a(b)$ significa multiplicar — então o seu olho quer que $f(4)$ signifique $f \times 4$. Se isso fosse verdade, $f(0)$ seria $0$ para toda função do mundo; mas $B(0) = 20$ — um mês vazio ainda custa a taxa base. E dobrar a entrada dobraria a saída; mas $B(8) = 44$, nem perto de $2 \cdot B(4) = 64$. Os parênteses depois de um nome de função são uma fenda de correio: $f(4)$ é “o que $f$ devolve para $4$”, um único número, e não há nenhum $f$ flutuando livre para multiplicar ou cancelar com nada.

Todo fato sobre $f$ é um ponto

A4 chamou uma equação de duas variáveis de teste de pertinência para pontos. A notação de função é o mesmo teste, escrito mais apertado: dizer $f(4) = 32$ e dizer “o gráfico de $y = f(x)$ passa por $(4, 32)$” são a mesma frase. Entrada para o lado, saída para cima. Três casos especiais fazem quase todo o trabalho do SAT: $f(0)$ é o corte com y (o início), resolver $f(x) = k$ é achar onde a reta alcança a altura $k$, e resolver $f(x) = 0$ acha o corte com x — onde o gráfico toca o chão.

Ler uma máquina a partir de uma tabela

Muitas vezes não te dão regra nenhuma — só valores. Digamos que uma tabela mostra $f(0) = 5$, $f(2) = 11$, $f(4) = 17$. É linear? Confira os passos: cada vez que a entrada sobe $2$, a saída sobe $6$. Passos parelhos de entrada, passos parelhos de saída — essa é a assinatura do linear. A taxa, porém, é por uma unidade de entrada:

O número que chama atenção é o passo de saída, $6$ — mas as entradas andam de $2$ em $2$, então a inclinação é $6 \div 2 = 3$, não $6$. (As tabelas andam de dois em dois e de cinco em cinco justamente para armar essa cilada.) Com a taxa e o início, a regra se remonta sozinha: $f(x) = 3x + 5$, e agora $f(50)$ é uma substituição em vez de uma tabela de cinquenta linhas.

O que os números significam no mundo real

A pergunta de função favorita do SAT não tem nada de álgebra: “Em $B(g) = 3g + 20$, o que o $20$ representa?” A resposta é sempre as mesmas duas frases, e as unidades decidem tudo. A inclinação é uma taxa, então o significado dela precisa da palavra por: $$3$ por gigabyte. O corte é um valor em zero, a leitura antes de qualquer coisa acontecer: $$20$ quando $g = 0$, a taxa base. Troque os dois e a frase vira sem sentido — uma conta não pode começar em "$3$" nem crescer de "$20$" em "$20$" fixo. Quando a inclinação é negativa — uma vela $L(h) = 24 - 2h$ — a taxa se lê como uma perda (“perde $2$ cm a cada hora”), e mais um marco ganha significado: o corte com x é o momento em que acaba, $L(h) = 0$ em $h = 12$.

Escolha a vela. Antes de tocar em nada, preveja: aumentar a taxa de queima move qual ponta da reta — e o marcador “acaba em…” desliza para a esquerda ou para a direita? Depois deslize só o comprimento inicial: a inclinação nunca muda, a história inteira só começa mais alto (o deslizador do $b$ de A4, agora com gráfico). A taxa de desbloqueio do patinete faz a mesma coisa em dólares.

A única coisa para lembrar

Uma função é uma máquina com nome: $f(\text{entrada}) = \text{saída}$, então cada fato $f(a) = b$ é um ponto $(a, b)$ no gráfico dela. Avaliar substitui para frente; resolver roda a máquina de trás para frente. E em qualquer história real, a inclinação é a taxa (o número “por”), o corte com y é o valor inicial e o corte com x é quando acaba.

Ler a notação

A partir de uma tabela de valores

• Teste de linearidade: passos iguais de entrada ⇒ passos iguais de saída.
• Taxa: $\text{inclinação} = \dfrac{\Delta f}{\Delta x}$ — divida pelo passo de entrada, que costuma ser $2$ ou $5$, não $1$.
• Início: $b = f(0)$ (ou trabalhe de trás para achá-lo). Depois $f(x) = (\text{taxa})\,x + b$.

Interpretar um modelo $f(x) = mx + b$