Decimais e valor posicional

O photo finish

Dois velocistas cruzam a linha: um marca $10.4$ segundos, o outro $10.32$. Quem venceu? O olho quer dizer que $10.32$ é maior — tem mais algarismos, e com números inteiros, mais comprido sempre significa maior. Mas aqui $10.32$ é o vencedor, com $0.08$ segundo inteiros de vantagem. Tudo o que vem depois de um ponto decimal joga com regras que o olho ainda não terminou de aprender, e esta unidade é sobre tornar essas regras óbvias em vez de decoradas.

Os decimais só continuam o valor posicional

Comece pelo que você usa desde criança: em $437$, cada casa vale $10\times$ a da sua direita — centenas, dezenas, unidades. Agora deixe o padrão continuar. Um passo à direita das unidades tem que valer dez vezes menos: décimos ($\frac{1}{10}$). Outro passo: centésimos ($\frac{1}{100}$), depois milésimos. O ponto decimal não é um muro — é só a marca de onde as “unidades” terminam. Então $0.37$ significa $3$ décimos $+\ 7$ centésimos, e na língua de F3 isso é $\frac{37}{100}$: um decimal é uma fração cujo denominador é uma potência de dez, com o denominador escondido na posição dos algarismos em vez de escrito embaixo.

O widget abre com $42.857$ — antes de olhar, diga quanto vale o $8$, e quanto vale o $5$. Depois digite $0.307$: o que aquele $0$ do meio está fazendo? (Segurando aberta a casa dos décimos, para o $3$ e o $7$ não escorregarem para unidades erradas.)

Todo decimal é uma fração disfarçada

De decimal para fração é ler em voz alta: $0.6$ é “seis décimos”, então $0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. De fração para decimal usa a outra coisa que você sabe de F3 — uma fração é uma divisão — então divida em cima pelo de baixo: $\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375$.

Mas experimente $\frac{1}{3}$ e a divisão nunca termina: $0.333\ldots$, escrito $0.\overline{3}$ com uma barra sobre o bloco que se repete. Por que algumas frações param e outras giram para sempre? A resposta são os átomos primos de F2: uma casa decimal é uma potência de $10$, e os átomos de $10$ são exatamente $2$ e $5$. Se o denominador de uma fração irredutível é feito só de $2$ e $5$ — como $8 = 2^3$ — ele pode ser renomeado sobre uma potência de dez e o decimal termina. Qualquer outro átomo no denominador ($3$, $7$, $11$…) jamais dividirá uma potência de dez, então a divisão não tem saída a não ser se repetir.

Preveja antes de converter: $\frac{7}{20}$ — termina ou repete? ($20 = 2^2 \times 5$: só os átomos certos.) E $\frac{7}{12}$? ($12$ tem um $3$ dentro — espere uma barra.)

Comparar: por que “mais comprido parece maior” engana

De volta aos velocistas. O instinto de que $10.32 > 10.4$ vem de uma vida inteira de números inteiros, onde um algarismo extra significa mais uma potência de dez — $432$ realmente ganha de $45$. Mas depois do ponto, algarismos extras não acrescentam quantidade, acrescentam finura: $0.4$ e $0.40$ e $0.400$ são o mesmo número fatiado em pedaços cada vez mais finos. O conserto é o truque da unidade comum de F3 vestido de atalho: complete com zeros até os comprimentos coincidirem — isso é renomear os dois números na mesma unidade — e compare os numeradores. $10.40$ contra $10.32$: quarenta centésimos ganham de trinta e dois.

Somar e subtrair: alinhe os pontos

O mesmo princípio, terceira aparição: só unidades iguais se contam juntas. Décimos somam com décimos, centésimos com centésimos — então os pontos decimais precisam ficar numa só coluna. Para $3.4 + 1.25$, complete para $3.40$, alinhe os pontos e some por colunas: $4.65$. (Alinhar as bordas direitas — o hábito natural da soma de inteiros — somaria os $4$ décimos com os $5$ centésimos, um contrassenso de unidades.)

Multiplicar: por que se contam as casas decimais

Aqui há um lugar onde o instinto decimal subestima a estranheza: peça a quase qualquer pessoa $0.2 \times 0.3$ e escapa um "$0.6$", porque $2 \times 3 = 6$ e os pontos parecem decorativos. Tire o disfarce das frações e veja o que acontece de verdade: $\frac{2}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{6}{100} = 0.06$. Décimos se multiplicam em centésimos — os denominadores também se multiplicam, e é exatamente por isso que a regra diz: multiplique como inteiros e dê à resposta tantas casas decimais quantas os dois fatores tinham juntos. E repare que a resposta é menor que qualquer um dos fatores: pegar dois décimos de três décimos encolhe, o mesmo “de” que você conheceu em F3.

Dividir: torne o divisor inteiro

$1.5 \div 0.5$ pergunta “quantas metades cabem em um e meio?” — três. A regra mecânica — desloque os dois pontos para a direita até o divisor virar inteiro ($15 \div 5 = 3$) — é legal por um motivo que já é seu: deslocar os dois é multiplicar em cima e embaixo por $10$, ou seja, fabricar uma fração equivalente. A quantidade não muda; só a roupa.

Execute $0.2 \times 0.3$ e confira a contagem de casas nos passos. Depois $1.5 \div 0.5$ — preveja primeiro: maior ou menor que $1.5$? (Dividir por um número menor que $1$ aumenta a resposta.)

Arredondamento: qual marca está mais perto?

Arredondar só pergunta em qual traço da régua o seu número se encosta. A conhecida regra do ”$5$ ou mais sobe” é um atalho para “está na metade ou além?” — nada mais.

Arredonde $42.857$ para o décimo mais próximo na reta — veja em qual marca ele se agarra. Depois experimente $0.95$ para o décimo mais próximo e veja a subida se propagar até a casa das unidades: $1.0$.

A única coisa para lembrar

Um decimal é uma fração sobre uma potência de dez com o denominador escondido nas posições dos algarismos — e toda regra decimal é uma regra de frações com a escrita pulada. Comparar e somar exigem unidades iguais (complete zeros, alinhe pontos); multiplicar multiplica também os denominadores ocultos (conte as casas); dividir desloca os dois números para uma fração equivalente mais fácil.

O que os algarismos significam

Cada casa é $10\times$ a que está à sua direita. À esquerda do ponto: unidades, dezenas, centenas… À direita do ponto: décimos ($\frac{1}{10}$), centésimos ($\frac{1}{100}$), milésimos ($\frac{1}{1000}$)… Então $0.37 = 3$ décimos $+\;7$ centésimos $= \frac{37}{100}$.

As regras

Um arredondamento, passo a passo