Equações lineares com uma variável

Rode a máquina de trás para frente

Em F8 você montou uma máquina de conta de celular: a $$20$ por mês mais $$3$ por gigabyte, a conta é $20 + 3g$. Entra um consumo, sai uma conta. Agora inverta o problema: a conta chegou em $$35$ — quantos gigabytes você usou? Desta vez você conhece a saída e quer a entrada, e escrever isso dá a sua primeira equação:

$20 + 3g = 35$

Resolver a equação é achar o valor de $g$ que torna os dois lados realmente iguais. Toda a maquinaria mais famosa da álgebra — este módulo — existe para responder perguntas com esse formato.

A única regra: mantenha a balança em equilíbrio

Uma equação é uma balança que fica perfeitamente nivelada: $20 + 3g$ está num prato, $35$ no outro. Você pode fazer com a balança qualquer coisa que a mantenha nivelada, e isso quer dizer: o que você faz de um lado, precisa fazer do outro. Some $3$ nos dois pratos — segue nivelada. Some $3$ em um prato só e a balança pende; $5 + 3 \ne 5$. Todo movimento legal de resolução é só essa regra aplicada com um propósito.

Então vamos achar os gigabytes, um movimento equilibrado de cada vez:

Repare na ordem do desfazer. Ao montar a conta, a máquina multiplicou primeiro e somou depois (a escada de F1). Para libertar o $g$, você desfez a soma primeiro e a multiplicação depois — operações inversas, na ordem inversa, como tirar o sapato antes da meia:

“Passa para o outro lado” — o que acontece de verdade

Você vai ouvir que resolver é passar termos: “o $+4$ passa para o outro lado e vira $-4$”. Esse atalho é ótimo depois que você sabe o que ele esconde, e perigoso antes. Nada passa. Em $3x + 4 = 19$, você subtrai $4$ dos dois lados; à esquerda isso cancela e some, à direita aparece como $19 - 4$. A “troca de sinal” não é uma regra sobre atravessar o sinal de igual — é o resto visível de um movimento feito nos dois lados. Quem memoriza aquilo como teletransporte acaba trocando um sinal que não devia trocar (ou arrastando um coeficiente como se ele funcionasse igual). Na dúvida, volte à balança: dê nome à operação e faça-a nos dois pratos.

Variáveis nos dois lados

$5x + 4 = 2x + 19$ parece novidade, mas $2x$ é uma quantidade como qualquer outra — então subtraia $2x$ dos dois pratos e ele some da direita: $3x + 4 = 19$. Daí em diante você já conhece o caminho. (Reunir o termo com $x$ menor deixa o coeficiente positivo, o que é mais gentil com os seus sinais.)

O resolvedor abre exatamente com essa equação. Antes de ler cada passo, preveja o movimento: qual termo com $x$ vai ser reunido, o que se desfaz primeiro e qual é o $x$ final? Depois digite uma equação com parênteses — digamos $4 - 2(x - 3) = 8$ — e veja as habilidades de F8 (distribuir, cuidado com o negativo!) virarem os movimentos de abertura da resolução.

Quando o x some: nenhuma solução ou infinitas

Experimente $3(x + 2) = 3x + 6$ no resolvedor, e depois $2x + 5 = 2x + 1$. Nos dois, os termos com $x$ se cancelam por completo — e o que sobra diz em qual caso estranho você está. $6 = 6$ é verdadeiro seja qual for o $x$: os dois lados eram a mesma máquina com roupas diferentes, então todo número resolve — infinitas soluções. $5 = 1$ é falso seja qual for o $x$: os dois lados sempre diferem por exatamente $4$, então nenhum número pode reconciliá-los. Nenhum dos dois é erro — os dois são respostas, e o SAT adora pedir que você as reconheça.

Sempre confira

Substitua a sua resposta na equação original — não numa linha posterior, que já pode carregar o seu erro — e confirme que os dois lados caem no mesmo número. É o mesmo detector de mentiras de cinco segundos de F8, e ele pega quase todo deslize. Construa o hábito na aba Conferir uma solução.

A única coisa para lembrar

Uma equação é uma balança nivelada, e resolver é desfazer: descasque tudo o que envolve o $x$ com operações inversas, na ordem inversa das operações, fazendo cada movimento nos dois lados. “Passar termos” nunca é outra coisa senão um movimento nos dois lados usando um apelido — e uma resposta substituída de volta nunca mente.

O que é uma equação linear

Uma equação diz que duas coisas são iguais: um lado esquerdo e um lado direito unidos por $=$. Uma equação linear tem a variável só na primeira potência — nada de $x^2$, nada de $x$ no denominador. Resolver é achar o valor de $x$ que torna os dois lados de fato iguais.

A estratégia (sempre a mesma)

Desfaça a ordem das operações de trás para frente até libertar o $x$:

1. Elimine os parênteses — distribua.
2. Elimine as frações — multiplique cada termo pelo denominador comum (opcional, mas organiza).
3. Reúna os termos semelhantes — todos os termos com $x$ de um lado, todas as constantes do outro.
4. Desfaça o que foi feito com o $x$ — subtraia/some a constante e depois divida pelo coeficiente.

Cada movimento usa uma operação inversa: a soma desfaz a subtração, a multiplicação desfaz a divisão.

Exemplo resolvido — dois passos

$3x - 7 = 11$

Exemplo resolvido — variáveis nos dois lados

Junte os $x$ primeiro. Mova o termo com $x$ menor para evitar um negativo, se puder.

$5x + 4 = 2x + 19$

Exemplo resolvido — frações

Multiplique cada termo pelo denominador comum para eliminá-las.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{3} = 2$

Duas respostas especiais

Às vezes os $x$ se cancelam por completo. Olhe o que sobrou:

O SAT adora perguntar “para qual valor isso não tem solução / tem infinitas soluções” — reconhecer esses casos vale pontos.

Sempre confira

Substitua a sua resposta na equação original. Se os dois lados baterem, você acertou. Esse único hábito pega quase todo deslize de aritmética.