Porcentagens

Por que as porcentagens existem

Você acertou $43$ de $50$ numa prova e $17$ de $20$ em outra. Qual foi melhor? É genuinamente difícil dizer — os todos têm tamanhos diferentes, então os acertos não se comparam direto. Mas reescale os dois para notas em $100$ e a névoa se dissipa: $86$ contra $85$. Esse reescalar é toda a ideia de uma porcentagem: uma régua comum para partes de todos de tamanhos diferentes, para que qualquer coisa se compare com qualquer outra num relance. É por isso que notas, taxas de juros, descontos, gorjetas e o indicador de bateria falam todos em porcentagem.

Uma porcentagem é uma fração que você já conhece

Porcentagem significa “por cem”. Então $30\%$ é simplesmente $30$ em cada $100$ — e você já possui dois jeitos de escrever isso. De F3, é a fração $\tfrac{30}{100}$, que simplifica para $\tfrac{3}{10}$. De F4, é o decimal $0.30$, porque dividir por $100$ move o ponto duas casas para a esquerda. Toda porcentagem é essas mesmas três coisas com roupas diferentes, e trocar de roupa são dois saltos do ponto decimal: porcentagem → decimal salta para a esquerda ($45\% = 0.45$), decimal → porcentagem salta para a direita ($0.07 = 7\%$).

Antes de continuar, faça três previsões e confira cada uma na grade: digite $7$ — isso é $0.7$ ou $0.07$ como decimal? Digite $0.5$ — meio por cento, que é muito menos que um meio. E digite $150$ — a grade fica sem casas, mas o número não: uma porcentagem acima de $100$ só significa mais que um todo inteiro.

Tomar uma porcentagem de um número

O jantar custou $$80$ e o atendimento foi ótimo, então você quer dar $35\%$ de gorjeta. Nada de fórmula ainda — construa com peças que cabem na cabeça:

Agora o atalho. Em F3 você viu que multiplicar é tomar uma fração de algo. ”$35\%$ de $80$” é exatamente essa frase: $\tfrac{35}{100} \times 80 = 0.35 \times 80 = 28$. A mesma resposta, uma só multiplicação — e essa é a regra geral:

Um hábito que vale nomear: uma porcentagem nunca é uma quantia por si só — é sempre uma porcentagem de alguma coisa. $25\%$ de um café e $25\%$ de uma casa são somas de dinheiro absurdamente diferentes. Enquanto você não conhece a base $b$, "$25\%$" não tem tamanho.

Experimente $15\%$ de $60$ — mas preveja primeiro com as âncoras ($10\%$ é $6$, metade disso é $3$…), e deixe o widget confirmar e mostrar a decomposição.

Medir a mudança

Seu tênis favorito foi de $$80$ para $$100$. A mudança bruta é $$20$ — mas isso é um salto grande? Sobre uma base de $$80$ é um quarto do que havia no começo, então é um aumento de $25\%$. Essa é a regra: compare a mudança com o valor original.

E aqui está por que o erro clássico — dividir pelo valor novo — parece tão natural: o número novo é o que está na sua frente, e $\tfrac{20}{100} = 20\%$ sai mais limpo que $\tfrac{20}{80}$. Mas veja-o quebrar: rode o mesmo preço ao contrário, de $$100$ para $$80$, e a queda é $\tfrac{20}{100} = 20\%$. A mesma diferença de $$20$, outra porcentagem — porque o que mudou é o ponto de partida de onde você mede. Uma variação percentual sempre responde “qual foi o tamanho do movimento comparado com onde eu comecei?”

Digite $80 \to 100$, depois troque para $100 \to 80$, e veja as porcentagens de subida e de descida se recusarem a bater.

O atalho do multiplicador

Esta é a ideia que transforma problemas de porcentagem em problemas de um passo só. Depois de um aumento de $20\%$ você tem tudo o que tinha mais $20\%$ disso — ou seja, $120\%$, ou $\times 1.20$ numa única multiplicação. Uma redução de $20\%$ significa que você fica com $80\%$: $\times 0.80$. Toda variação percentual é, em segredo, um multiplicador.

Empilhar mudanças

Uma loja sobe os preços $20\%$ e depois anuncia uma promoção de ”$20\%$ de desconto”. Voltamos ao preço original? Com certeza parece — $+20$ e $-20$ se cancelam, não é? Preveja onde a cadeia abaixo vai pousar, e depois olhe:

$100 \to 120 \to 96$. A intuição de "$20 - 20 = 0$" falha porque as duas porcentagens se apoiam em bases diferentes: o corte de $20\%$ age sobre $120$, um número maior, então tira mais do que o aumento colocou. Variações percentuais nunca se somam — seus multiplicadores se multiplicam: $1.20 \times 0.80 = 0.96$, uma perda de $4\%$. Experimente $+50$ e depois $-50$ (pior: $\times 0.75$), e $+10$ e depois $+10$ (mais que $+20\%$: $\times 1.21$).

Trabalhar de trás para frente

Uma jaqueta custa $$120$ depois de um aumento de $20\%$. Quanto custava antes? O movimento tentador é tirar $20\%$ de $120$ e responder $$96$ — mas agora você sabe dizer exatamente por que isso falha: os $20\%$ foram medidos sobre o preço original, não sobre $120$. Pense primeiro para a frente: $\text{original} \times 1.20 = 120$. Desfazer uma multiplicação é dividir, então o original é $120 \div 1.20 = 100$ dólares. Confira: $100 \times 1.20 = 120$ ✓ — enquanto $96 \times 1.20 = 115.2$ ✗.

Alterne no widget entre o método certo e o errado e veja a que distância um do outro eles pousam conforme a porcentagem cresce.

A única coisa para lembrar

Porcentagem significa por cem — uma fração e um decimal com roupas diferentes. Daí em diante, toda pergunta de porcentagem é uma pergunta de multiplicador: $p\%$ de $b$ é $\tfrac{p}{100} \times b$, uma mudança de $p\%$ é uma multiplicação por $1 \pm \tfrac{p}{100}$, e desfazer uma mudança é dividir por esse multiplicador. E uma variação percentual sempre se mede contra onde você começou.

Conversões

Fórmulas

• Porcentagem de um número: $\dfrac{p}{100}\times b$
• Variação percentual: $\dfrac{\text{final}-\text{inicial}}{\text{inicial}}\times100$
• Aplicar uma variação: aumentar em $p\% \Rightarrow \times\left(1+\tfrac{p}{100}\right)$; reduzir $\Rightarrow \times\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$
• Desfazer uma variação: divida o valor final por esse multiplicador

Variação percentual

Mudanças empilhadas

Trabalhar de trás para frente